integral of e^{-st}(t-2)^2

解

\int e^{- s t} (t - 2)^{2} d t

- e^{- s t} \frac{4}{s} - \frac{4}{s ^{2}} (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) - e^{- s t} \frac{1}{s} t^{2} + \frac{2}{s ^{3}} (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) + C

解答ステップ

\int e^{- s t} (t - 2)^{2} d t

拡張

(- 2 + t)^{2} e^{- s t} : 4 e^{- s t} - 4 e^{- s t} t + e^{- s t} t^{2}

= \int 4 e^{- s t} - 4 e^{- s t} t + e^{- s t} t^{2} d t

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 4 e^{- s t} d t - \int 4 e^{- s t} t d t + \int e^{- s t} t^{2} d t

\int 4 e^{- s t} d t = - e^{- s t} \frac{4}{s}

\int 4 e^{- s t} t d t = \frac{4}{s ^{2}} (- s e^{- s t} t - e^{- s t})

\int e^{- s t} t^{2} d t = - e^{- s t} \frac{1}{s} t^{2} + \frac{2}{s ^{3}} (- s e^{- s t} t - e^{- s t})

= - e^{- s t} \frac{4}{s} - \frac{4}{s ^{2}} (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) - e^{- s t} \frac{1}{s} t^{2} + \frac{2}{s ^{3}} (- s e^{- s t} t - e^{- s t})

定数を解答に追加する

= - e^{- s t} \frac{4}{s} - \frac{4}{s ^{2}} (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) - e^{- s t} \frac{1}{s} t^{2} + \frac{2}{s ^{3}} (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) + C