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integral of 1/((1+u^2)^2)

解

\int \frac{1}{( 1 + u ^{2} ) ^{2}} d u

解

\frac{1}{2} (arctan (u) + \frac{u}{1 + u ^{2}}) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{( 1 + u ^{2} ) ^{2}} d u

三角関数による置換を適用する

= \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

代用を戻す

v = arctan (u)

= \frac{1}{2} (arctan (u) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (u)))

簡素化

\frac{1}{2} (arctan (u) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (u))) : \frac{1}{2} (arctan (u) + \frac{u}{1 + u ^{2}})

= \frac{1}{2} (arctan (u) + \frac{u}{1 + u ^{2}})

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (arctan (u) + \frac{u}{1 + u ^{2}}) + C

グラフ

人気の例

derivative of 1/4 sin(4x+c)

\frac{d}{d x} (\frac{1}{4} sin (4 x) + c)

(\partial)/(\partial x)(sqrt(3x^2+3y^2))

\frac{\partial}{\partial x} (3 x^{2} + 3 y^{2})

integral of (sin(2x))/(16+cos^2(x))

\int \frac{sin ( 2 x )}{16 + cos ^{2} ( x )} d x

tangent 6xy^9+5xy=11,(1,1)

t an g e n t 6 x y^{9} + 5 x y = 11, (1, 1)

limit as x approaches+(-2) of sqrt(x-2)

x \to + (- 2) lim (x - 2)