integral of 1/((16+x^2)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{( 16 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{x}{16 ( 16 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( 16 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{16 sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{16} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{16} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{16} sin (u)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{4} x)

ein

= \frac{1}{16} sin (arctan (\frac{1}{4} x))

Vereinfache

\frac{1}{16} sin (arctan (\frac{1}{4} x)) : \frac{x}{16 ( 16 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x}{16 ( 16 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{16 ( 16 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

roo t s a x + b

\int_{1}^{4} x^{2} - 3 x + 12 d x

\frac{d}{d x} (\frac{cos ( x )}{x ^{5}})

\int sin^{5} (t) cos^{7} (t) d t

\frac{d}{d x} (arctanh (3 x))