inverselaplace (2s)/((s^2+25)(s-1))

解

逆ラプラス

\frac{2 s}{( s ^{2} + 25 ) ( s - 1 )}

- \frac{1}{13} cos (5 t) + \frac{5 sin ( 5 t )}{13} + \frac{1}{13} e^{t}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{2 s}{( s ^{2} + 25 ) ( s - 1 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{2 s}{( s ^{2} + 25 ) ( s - 1 )} : \frac{- s + 25}{13 ( s ^{2} + 25 )} + \frac{1}{13 ( s - 1 )}

= L^{- 1} {\frac{- s + 25}{13 ( s ^{2} + 25 )} + \frac{1}{13 ( s - 1 )}}

拡張

= L^{- 1} {- \frac{s}{13 ( s ^{2} + 25 )} + \frac{25}{13 ( s ^{2} + 25 )} + \frac{1}{13 ( s - 1 )}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= - \frac{1}{13} L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 25}} + \frac{25}{13} L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 25}} + \frac{1}{13} L^{- 1} {\frac{1}{s - 1}}

L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 25}} : cos (5 t)

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 25}} : \frac{1}{5} sin (5 t)

L^{- 1} {\frac{1}{s - 1}} : e^{t}

= - \frac{1}{13} cos (5 t) + \frac{25}{13} \cdot \frac{1}{5} sin (5 t) + \frac{1}{13} e^{t}

改良

- \frac{1}{13} cos (5 t) + \frac{25}{13} \frac{1}{5} sin (5 t) + \frac{1}{13} e^{t} : - \frac{1}{13} cos (5 t) + \frac{5 sin ( 5 t )}{13} + \frac{1}{13} e^{t}

= - \frac{1}{13} cos (5 t) + \frac{5 sin ( 5 t )}{13} + \frac{1}{13} e^{t}