integral de 1/(3sin^2(x)+5cos^2(x))

Solução

\int \frac{1}{3 sin ^{2} ( x ) + 5 cos ^{2} ( x )} d x

\frac{1}{15} arctan (\frac{3}{5} tan (x)) + C

Passos da solução

\int \frac{1}{3 sin ^{2} ( x ) + 5 cos ^{2} ( x )} d x

Aplicar integração por substituição trigonométrica

= \int \frac{1}{3 u ^{2} + 5} d u

Aplicar integração por substituição

= \int \frac{1}{15 ( v ^{2} + 1 )} d v

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{15} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Aplicar as regras de integração:

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= \frac{1}{15} arctan (v)

Substituir na equação

= \frac{1}{15} arctan (\frac{3}{5} tan (x))

Combinar os expoentes iguais:

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= \frac{1}{15} arctan (\frac{3}{5} tan (x))

Adicionar uma constante à solução

= \frac{1}{15} arctan (\frac{3}{5} tan (x)) + C