integral of (1-e^{-4x})/(1+e^{-4x)}

解

\int \frac{1 - e ^{- 4 x}}{1 + e ^{- 4 x}} d x

x + \frac{1}{2} ln e^{- 4 x} + 1 + C

解答ステップ

\int \frac{1 - e ^{- 4 x}}{1 + e ^{- 4 x}} d x

拡張

\frac{1 - e ^{- 4 x}}{1 + e ^{- 4 x}} : \frac{1}{1 + e ^{- 4 x}} - \frac{e ^{- 4 x}}{1 + e ^{- 4 x}}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{1 + e ^{- 4 x}} d x - \int \frac{e ^{- 4 x}}{1 + e ^{- 4 x}} d x

\int \frac{1}{1 + e ^{- 4 x}} d x = \frac{1}{4} ln 1 + e^{- 4 x} + x

\int \frac{e ^{- 4 x}}{1 + e ^{- 4 x}} d x = - \frac{1}{4} ln 1 + e^{- 4 x}

= \frac{1}{4} ln 1 + e^{- 4 x} + x - (- \frac{1}{4} ln 1 + e^{- 4 x})

簡素化

\frac{1}{4} ln 1 + e^{- 4 x} + x - (- \frac{1}{4} ln 1 + e^{- 4 x}) : x + \frac{1}{2} ln e^{- 4 x} + 1

= x + \frac{1}{2} ln e^{- 4 x} + 1

定数を解答に追加する

= x + \frac{1}{2} ln e^{- 4 x} + 1 + C