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integral of cos(ln(2x))

解答

\int cos (ln (2 x)) d x

解答

\frac{1}{2} (x sin (ln (2 x)) + x cos (ln (2 x))) + C

求解步骤

\int cos (ln (2 x)) d x

使用换元积分法

= \int cos (ln (u)) \frac{1}{2} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int cos (ln (u)) d u

使用换元积分法

= \frac{1}{2} \cdot \int cos (v) e^{v} d v

使用分布积分法

= \frac{1}{2} (e^{v} sin (v) - \int e^{v} sin (v) d v)

使用分布积分法

= \frac{1}{2} (e^{v} sin (v) - (- e^{v} cos (v) - \int - e^{v} cos (v) d v))

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (e^{v} sin (v) - (- e^{v} cos (v) - (- \int e^{v} cos (v) d v)))

因此

\frac{1}{2} \cdot \int e^{v} cos (v) d v = \frac{1}{2} (e^{v} sin (v) - (- e^{v} cos (v) - (- \int e^{v} cos (v) d v)))

整理

\int e^{v} cos (v) d v

= \frac{1}{2} (\frac{e ^{v} sin ( v )}{2} + \frac{e ^{v} cos ( v )}{2})

代回

= \frac{1}{2} (\frac{e ^{l n (2 x)} sin ( ln ( 2 x ) )}{2} + \frac{e ^{l n (2 x)} cos ( ln ( 2 x ) )}{2})

化简

\frac{1}{2} (\frac{e ^{l n (2 x)} sin ( ln ( 2 x ) )}{2} + \frac{e ^{l n (2 x)} cos ( ln ( 2 x ) )}{2}) : \frac{1}{2} (x sin (ln (2 x)) + x cos (ln (2 x)))

= \frac{1}{2} (x sin (ln (2 x)) + x cos (ln (2 x)))

解答补常数

= \frac{1}{2} (x sin (ln (2 x)) + x cos (ln (2 x))) + C

作图

流行的例子

integral of x/(x^2-2x+5)

\int \frac{x}{x ^{2} - 2 x + 5} d x

derivative of arccot(x/4)

\frac{d}{d x} (arccot (\frac{x}{4}))

integral of (y^3)/((2+3y^4)^3)

\int \frac{y ^{3}}{( 2 + 3 y ^{4} ) ^{3}} d y

derivative sin(tan(3x))

d er i v a t i v e sin (tan (3 x))

derivative log_{4}(e^{2x}cos(3x))

d er i v a t i v e lo g_{4} (e^{2 x} cos (3 x))