integral of (x^3+x-1)/(x+3)

解

\int \frac{x ^{3} + x - 1}{x + 3} d x

\frac{x ^{3}}{3} - \frac{3 x ^{2}}{2} + 10 x - 31 ln ∣ x + 3 ∣ + 3 + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{3} + x - 1}{x + 3} d x

拡張

\frac{x ^{3} + x - 1}{x + 3} : \frac{x ^{3}}{x + 3} + \frac{x}{x + 3} - \frac{1}{x + 3}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{x ^{3}}{x + 3} d x + \int \frac{x}{x + 3} d x - \int \frac{1}{x + 3} d x

\int \frac{x ^{3}}{x + 3} d x = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{3 x ^{2}}{2} + 9 x - 27 ln ∣ x + 3 ∣

\int \frac{x}{x + 3} d x = x + 3 - 3 ln ∣ x + 3 ∣

\int \frac{1}{x + 3} d x = ln ∣ x + 3 ∣

= \frac{x ^{3}}{3} - \frac{3 x ^{2}}{2} + 9 x - 27 ln ∣ x + 3 ∣ + x + 3 - 3 ln ∣ x + 3 ∣ - ln ∣ x + 3 ∣

簡素化

= \frac{x ^{3}}{3} - \frac{3 x ^{2}}{2} + 10 x - 31 ln ∣ x + 3 ∣ + 3

定数を解答に追加する

= \frac{x ^{3}}{3} - \frac{3 x ^{2}}{2} + 10 x - 31 ln ∣ x + 3 ∣ + 3 + C