integral of (1+1/x)^{-3} 1/(x^2)

解

\int (1 + \frac{1}{x})^{- 3} \frac{1}{x ^{2}} d x

- \frac{x ^{2}}{( x + 1 ) ^{3}} - \frac{3}{2 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{( x + 1 ) ^{3}} + C

解答ステップ

\int (1 + \frac{1}{x})^{- 3} \frac{1}{x ^{2}} d x

部分積分を適用する

= - \frac{x ^{2}}{( x + 1 ) ^{3}} - \int - \frac{3 x}{( x + 1 ) ^{4}} d x

\int - \frac{3 x}{( x + 1 ) ^{4}} d x = \frac{3}{2 ( x + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{( x + 1 ) ^{3}}

= - \frac{x ^{2}}{( x + 1 ) ^{3}} - (\frac{3}{2 ( x + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{( x + 1 ) ^{3}})

簡素化

= - \frac{x ^{2}}{( x + 1 ) ^{3}} - \frac{3}{2 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{( x + 1 ) ^{3}}

定数を解答に追加する

= - \frac{x ^{2}}{( x + 1 ) ^{3}} - \frac{3}{2 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{( x + 1 ) ^{3}} + C