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integral of e^{t/2}cos(2t)

Lösung

\int e^{\frac{t}{2}} cos (2 t) d t

2 (\frac{4}{17} e^{\frac{t}{2}} sin (2 t) + \frac{1}{17} e^{\frac{t}{2}} cos (2 t)) + C

Schritte zur Lösung

\int e^{\frac{t}{2}} cos (2 t) d t

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{2} e^{\frac{u}{4}} cos (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int e^{\frac{u}{4}} cos (u) d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int e^{v} cos (4 v) \cdot 4 d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \int e^{v} cos (4 v) d v

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{2} \cdot 4 (e^{v} \frac{1}{4} sin (4 v) - \int e^{v} \frac{1}{4} sin (4 v) d v)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 4 (e^{v} \frac{1}{4} sin (4 v) - \frac{1}{4} \cdot \int e^{v} sin (4 v) d v)

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{2} \cdot 4 (e^{v} \frac{1}{4} sin (4 v) - \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} e^{v} cos (4 v) - \int - \frac{1}{4} e^{v} cos (4 v) d v))

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 4 (e^{v} \frac{1}{4} sin (4 v) - \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} e^{v} cos (4 v) - (- \frac{1}{4} \cdot \int e^{v} cos (4 v) d v)))

Deshalb

4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int e^{v} cos (4 v) d v = \frac{1}{2} \cdot 4 (e^{v} \frac{1}{4} sin (4 v) - \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} e^{v} cos (4 v) - (- \frac{1}{4} \cdot \int e^{v} cos (4 v) d v)))

Isoliere

\int e^{v} cos (4 v) d v

= 4 \cdot \frac{1}{2} (\frac{4 e ^{v} sin ( 4 v )}{17} + \frac{e ^{v} cos ( 4 v )}{17})

Ersetze zurück

= 4 \cdot \frac{1}{2} (\frac{4 e ^{\frac{2 t}{4}} sin ( 4 \cdot \frac{2 t}{4} )}{17} + \frac{e ^{\frac{2 t}{4}} cos ( 4 \cdot \frac{2 t}{4} )}{17})

Vereinfache

4 \cdot \frac{1}{2} (\frac{4 e ^{\frac{2 t}{4}} sin ( 4 \cdot \frac{2 t}{4} )}{17} + \frac{e ^{\frac{2 t}{4}} cos ( 4 \cdot \frac{2 t}{4} )}{17}) : 2 (\frac{4}{17} e^{\frac{t}{2}} sin (2 t) + \frac{1}{17} e^{\frac{t}{2}} cos (2 t))

= 2 (\frac{4}{17} e^{\frac{t}{2}} sin (2 t) + \frac{1}{17} e^{\frac{t}{2}} cos (2 t))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 (\frac{4}{17} e^{\frac{t}{2}} sin (2 t) + \frac{1}{17} e^{\frac{t}{2}} cos (2 t)) + C

\int cos^{3} (x) ln (sin (x)) d x

d er i v a t i v e f (x) = \frac{3 x + 2}{3 x - 2}

\frac{d}{d x} (3 x + 2 y)

\frac{d}{d x} (25 + x^{2})

s l o p e (2, - 2), (9, 3)