интеграл от 1/(sqrt(12x+0.02x^2))

Решение

\int \frac{1}{12 x + 0.02 x ^{2}} d x

7.07106 \dots ln 0.00001 \dots x^{2} + 0.00666 \dots x - 2.0 E - 16 + \frac{1}{6} (0.02 x + 6) + C

Шаги решения

\int \frac{1}{12 x + 0.02 x ^{2}} d x

коэффициент

\frac{1}{12 x + 0.02 x ^{2}}

= \int \frac{1}{x ( 0.02 x + 12 )} d x

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{1}{2 \cdot 0.1 u ( u - 12 )} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2 \cdot 0.1} \cdot \int \frac{1}{u ( u - 12 )} d u

После упрощения получаем

= 7.07106 \dots \cdot \int \frac{1}{u ( u - 12 )} d u

Заполните квадрат

u (u - 12) : (u - 6)^{2} - 36

= 7.07106 \dots \cdot \int \frac{1}{( u - 6 ) ^{2} - 36} d u

Применить подстановку интеграла

= 7.07106 \dots \cdot \int \frac{1}{v ^{2} - 36} d v

Примените тригонометрическую подстановку

= 7.07106 \dots \cdot \int sec (w) d w

Использовать общий интеграл:

\int sec (w) d w = ln ∣ tan (w) + sec (w) ∣

= 7.07106 \dots ln ∣ tan (w) + sec (w) ∣

Делаем обратную замену

= 7.07106 \dots ln tan (arcsec (\frac{1}{6} (0.02 x + 12 - 6))) + sec (arcsec (\frac{1}{6} (0.02 x + 12 - 6)))

Упростите

7.07106 \dots ln tan (arcsec (\frac{1}{6} (0.02 x + 12 - 6))) + sec (arcsec (\frac{1}{6} (0.02 x + 12 - 6))) : 7.07106 \dots ln 0.00001 \dots x^{2} + 0.00666 \dots x - 2.0 E - 16 + \frac{1}{6} (0.02 x + 6)

= 7.07106 \dots ln 0.00001 \dots x^{2} + 0.00666 \dots x - 2.0 E - 16 + \frac{1}{6} (0.02 x + 6)

Добавить константу к решению

= 7.07106 \dots ln 0.00001 \dots x^{2} + 0.00666 \dots x - 2.0 E - 16 + \frac{1}{6} (0.02 x + 6) + C