z^2+2z+1=i

Lösung

z^{2} + 2 z + 1 = i

z = - \frac{- 2 + 2}{2} + \frac{1}{2} i, z = - \frac{2 + 2}{2} - \frac{1}{2} i

Schritte zur Lösung

z^{2} + 2 z + 1 = i

Ersetze

z = x + y i

(x + y i)^{2} + 2 (x + y i) + 1 = i

Schreibe

(x + y i)^{2} + 2 (x + y i) + 1

um:

(x^{2} - y^{2} + 2 x + 1) + i (2 y + 2 x y)

(x^{2} - y^{2} + 2 x + 1) + i (2 y + 2 x y) = i

Schreibe

i

in der Standard komplexen Form um:

0 + i

(x^{2} - y^{2} + 2 x + 1) + i (2 y + 2 x y) = 0 + i

Komplexe Zahlen können nur gleich sein wenn ihre realen und imaginären Teile gleich sind.Schreibe als Gleichungssystem um

[x^{2} - y^{2} + 2 x + 1 = 0 2 y + 2 x y = 1]

[x^{2} - y^{2} + 2 x + 1 = 0 2 y + 2 x y = 1] : (x = - \frac{- 2 + 2}{2}, x = - \frac{2 + 2}{2}, y = \frac{1}{2} y = - \frac{1}{2})

Setze in

z = x + y i

ein

z = - \frac{- 2 + 2}{2} + \frac{1}{2} i, z = - \frac{2 + 2}{2} - \frac{1}{2} i

x^{2} + 2 y^{2} + x i + y i = x y + 7 + 3 i

∣ z ∣ + z - z \cdot z = 3 + 3 i

6 x + 12 y i = (2 x - 3) + (2 y + 3) i

15 + 2 3 x = - 5 x + 2

x^{2} = - 3 i