解答
tan(4x+20)⋅cot(x+50∘)=1
解答
x=3360∘n−320+16.66666…∘,x=76.66666…∘−320+3360∘n
+1
弧度
x=−320+545π+32πn,x=5423π−320+32πn求解步骤
tan(4x+20)cot(x+50∘)=1
两边减去 1tan(4x+20)cot(x+50∘)−1=0
用 sin, cos 表示
−1+cot(50∘+x)tan(20+4x)
使用基本三角恒等式: cot(x)=sin(x)cos(x)=−1+sin(50∘+x)cos(50∘+x)tan(20+4x)
使用基本三角恒等式: tan(x)=cos(x)sin(x)=−1+sin(50∘+x)cos(50∘+x)⋅cos(20+4x)sin(20+4x)
化简 −1+sin(50∘+x)cos(50∘+x)⋅cos(20+4x)sin(20+4x):sin(18900∘+18x)cos(20+4x)−sin(18900∘+18x)cos(20+4x)+cos(18900∘+18x)sin(20+4x)
−1+sin(50∘+x)cos(50∘+x)⋅cos(20+4x)sin(20+4x)
sin(50∘+x)cos(50∘+x)⋅cos(20+4x)sin(20+4x)=sin(18900∘+18x)cos(20+4x)cos(18900∘+18x)sin(20+4x)
sin(50∘+x)cos(50∘+x)⋅cos(20+4x)sin(20+4x)
分式相乘: ba⋅dc=b⋅da⋅c=sin(50∘+x)cos(20+4x)cos(50∘+x)sin(20+4x)
化简 50∘+x:18900∘+18x
50∘+x
将项转换为分式: x=18x18=50∘+18x⋅18
因为分母相等，所以合并分式: ca±cb=ca±b=18900∘+x⋅18
=sin(1818x+900∘)cos(4x+20)cos(x+50∘)sin(4x+20)
化简 50∘+x:18900∘+18x
50∘+x
将项转换为分式: x=18x18=50∘+18x⋅18
因为分母相等，所以合并分式: ca±cb=ca±b=18900∘+x⋅18
=sin(1818x+900∘)cos(4x+20)cos(1818x+900∘)sin(4x+20)
=−1+sin(1818x+900∘)cos(4x+20)cos(1818x+900∘)sin(4x+20)
将项转换为分式: 1=sin(18900∘+x18)cos(20+4x)1sin(18900∘+x18)cos(20+4x)=−sin(18900∘+x⋅18)cos(20+4x)1⋅sin(18900∘+x⋅18)cos(20+4x)+sin(18900∘+x⋅18)cos(20+4x)cos(18900∘+x⋅18)sin(20+4x)
因为分母相等，所以合并分式: ca±cb=ca±b=sin(18900∘+x⋅18)cos(20+4x)−1⋅sin(18900∘+x⋅18)cos(20+4x)+cos(18900∘+x⋅18)sin(20+4x)
乘以:1⋅sin(18900∘+x⋅18)=sin(18900∘+x⋅18)=sin(1818x+900∘)cos(4x+20)−sin(1818x+900∘)cos(4x+20)+cos(1818x+900∘)sin(4x+20)
=sin(18900∘+18x)cos(20+4x)−sin(18900∘+18x)cos(20+4x)+cos(18900∘+18x)sin(20+4x)
cos(20+4x)sin(1818x+900∘)−cos(20+4x)sin(1818x+900∘)+cos(1818x+900∘)sin(20+4x)=0
g(x)f(x)=0⇒f(x)=0−cos(20+4x)sin(1818x+900∘)+cos(1818x+900∘)sin(20+4x)=0
使用三角恒等式改写
−cos(20+4x)sin(1818x+900∘)+cos(1818x+900∘)sin(20+4x)
使用角差恒等式: sin(s)cos(t)−cos(s)sin(t)=sin(s−t)=sin(20+4x−1818x+900∘)
sin(20+4x−1818x+900∘)=0
sin(20+4x−1818x+900∘)=0的通解
sin(x) 周期表（周期为 360∘n"）：
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘sin(x)02122231232221x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘sin(x)0−21−22−23−1−23−22−21
20+4x−1818x+900∘=0+360∘n,20+4x−1818x+900∘=180∘+360∘n
20+4x−1818x+900∘=0+360∘n,20+4x−1818x+900∘=180∘+360∘n
解 20+4x−1818x+900∘=0+360∘n:x=3360∘n−320+16.66666…∘
20+4x−1818x+900∘=0+360∘n
0+360∘n=360∘n20+4x−1818x+900∘=360∘n
将 20到右边
20+4x−1818x+900∘=360∘n
两边减去 2020+4x−1818x+900∘−20=360∘n−20
化简4x−1818x+900∘=360∘n−20
4x−1818x+900∘=360∘n−20
在两边乘以 18
4x−1818x+900∘=360∘n−20
在两边乘以 184x⋅18−1818x+900∘⋅18=360∘n⋅18−20⋅18
化简
4x⋅18−1818x+900∘⋅18=360∘n⋅18−20⋅18
化简 4x⋅18:72x
4x⋅18
数字相乘:4⋅18=72=72x
化简 −1818x+900∘⋅18:−(18x+900∘)
−1818x+900∘⋅18
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=−18(18x+900∘)⋅18
约分:18=−(18x+900∘)
化简 360∘n⋅18:6480∘n
360∘n⋅18
数字相乘:2⋅18=36=6480∘n
化简 −20⋅18:−360
−20⋅18
数字相乘:20⋅18=360=−360
72x−(18x+900∘)=6480∘n−360
72x−(18x+900∘)=6480∘n−360
72x−(18x+900∘)=6480∘n−360
展开 72x−(18x+900∘):54x−900∘
72x−(18x+900∘)
−(18x+900∘):−18x−900∘
−(18x+900∘)
打开括号=−(18x)−(900∘)
使用加减运算法则+(−a)=−a=−18x−900∘
=72x−18x−900∘
同类项相加:72x−18x=54x=54x−900∘
54x−900∘=6480∘n−360
将 900∘到右边
54x−900∘=6480∘n−360
两边加上 900∘54x−900∘+900∘=6480∘n−360+900∘
化简54x=6480∘n−360+900∘
54x=6480∘n−360+900∘
两边除以 54
54x=6480∘n−360+900∘
两边除以 545454x=546480∘n−54360+16.66666…∘
化简
5454x=546480∘n−54360+16.66666…∘
化简 5454x:x
5454x
数字相除:5454=1=x
化简 546480∘n−54360+16.66666…∘:3360∘n−320+16.66666…∘
546480∘n−54360+16.66666…∘
消掉 546480∘n:3360∘n
546480∘n
约分:18=3360∘n
=3360∘n−54360+16.66666…∘
消掉 54360:320
54360
约分:18=320
=3360∘n−320+16.66666…∘
x=3360∘n−320+16.66666…∘
x=3360∘n−320+16.66666…∘
x=3360∘n−320+16.66666…∘
解 20+4x−1818x+900∘=180∘+360∘n:x=76.66666…∘−320+3360∘n
20+4x−1818x+900∘=180∘+360∘n
将 20到右边
20+4x−1818x+900∘=180∘+360∘n
两边减去 2020+4x−1818x+900∘−20=180∘+360∘n−20
化简4x−1818x+900∘=180∘+360∘n−20
4x−1818x+900∘=180∘+360∘n−20
在两边乘以 18
4x−1818x+900∘=180∘+360∘n−20
在两边乘以 184x⋅18−1818x+900∘⋅18=180∘18+360∘n⋅18−20⋅18
化简
4x⋅18−1818x+900∘⋅18=180∘18+360∘n⋅18−20⋅18
化简 4x⋅18:72x
4x⋅18
数字相乘:4⋅18=72=72x
化简 −1818x+900∘⋅18:−(18x+900∘)
−1818x+900∘⋅18
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=−18(18x+900∘)⋅18
约分:18=−(18x+900∘)
化简 180∘18:3240∘
180∘18
使用交换律:180∘18=3240∘3240∘
化简 360∘n⋅18:6480∘n
360∘n⋅18
数字相乘:2⋅18=36=6480∘n
化简 −20⋅18:−360
−20⋅18
数字相乘:20⋅18=360=−360
72x−(18x+900∘)=3240∘+6480∘n−360
72x−(18x+900∘)=3240∘+6480∘n−360
72x−(18x+900∘)=3240∘+6480∘n−360
展开 72x−(18x+900∘):54x−900∘
72x−(18x+900∘)
−(18x+900∘):−18x−900∘
−(18x+900∘)
打开括号=−(18x)−(900∘)
使用加减运算法则+(−a)=−a=−18x−900∘
=72x−18x−900∘
同类项相加:72x−18x=54x=54x−900∘
54x−900∘=3240∘+6480∘n−360
将 900∘到右边
54x−900∘=3240∘+6480∘n−360
两边加上 900∘54x−900∘+900∘=3240∘+6480∘n−360+900∘
化简54x=4140∘+6480∘n−360
54x=4140∘+6480∘n−360
两边除以 54
54x=4140∘+6480∘n−360
两边除以 545454x=76.66666…∘+546480∘n−54360
化简
5454x=76.66666…∘+546480∘n−54360
化简 5454x:x
5454x
数字相除:5454=1=x
化简 76.66666…∘+546480∘n−54360:76.66666…∘−320+3360∘n
76.66666…∘+546480∘n−54360
对同类项分组=76.66666…∘−54360+546480∘n
消掉 54360:320
54360
约分:18=320
=76.66666…∘−320+546480∘n
消掉 546480∘n:3360∘n
546480∘n
约分:18=3360∘n
=76.66666…∘−320+3360∘n
x=76.66666…∘−320+3360∘n
x=76.66666…∘−320+3360∘n
x=76.66666…∘−320+3360∘n
x=3360∘n−320+16.66666…∘,x=76.66666…∘−320+3360∘n