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Popolare Trigonometria >

sinh(x)=2cosh(x)sinh(x)

Soluzione

sinh (x) = 2 cosh (x) sinh (x)

Soluzione

x = 0

Gradi

x = 0^{\circ}

Fasi della soluzione

sinh (x) = 2 cosh (x) sinh (x)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sinh (x) = 2 cosh (x) sinh (x)

Usa l'identità iperbolica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 2 cosh (x) sinh (x)

Usa l'identità iperbolica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 2 cosh (x) \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

Usa l'identità iperbolica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} : x = 0

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot 2 = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot 2

Semplificare

e^{x} - e^{- x} = (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})

Applica le regole dell'esponente

e^{x} - e^{- x} = (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

e^{x} - (e^{x})^{- 1} = (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) (e^{x} - (e^{x})^{- 1})

e^{x} - (e^{x})^{- 1} = (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) (e^{x} - (e^{x})^{- 1})

Riscrivi l'equazione con

e^{x} = u

u - (u)^{- 1} = (u + (u)^{- 1}) (u - (u)^{- 1})

Risolvi

u - u^{- 1} = (u + u^{- 1}) (u - u^{- 1}) : u = 1, u = - 1

u - u^{- 1} = (u + u^{- 1}) (u - u^{- 1})

Affinare

u - \frac{1}{u} = (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u})

Moltiplica entrambi i lati per

u

u - \frac{1}{u} = (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u})

Moltiplica entrambi i lati per

u

uu - \frac{1}{u} u = (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) u

Semplificare

uu - \frac{1}{u} u = (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) u

Semplificare

uu : u^{2}

uu

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Semplificare

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Cancella il fattore comune:

u

= - 1

u^{2} - 1 = (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) u

u^{2} - 1 = (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) u

u^{2} - 1 = (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) u

Espandere

(u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) u : u^{3} - \frac{1}{u}

(u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) u

= u (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u})

Espandi

(u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) : u^{2} - \frac{1}{u ^{2}}

(u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u})

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = u, b = \frac{1}{u}

= u^{2} - (\frac{1}{u})^{2}

(\frac{1}{u})^{2} = \frac{1}{u ^{2}}

(\frac{1}{u})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{u ^{2}}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{u ^{2}}

= u^{2} - \frac{1}{u ^{2}}

= u (u^{2} - \frac{1}{u ^{2}})

Espandi

u (u^{2} - \frac{1}{u ^{2}}) : u^{3} - \frac{1}{u}

u (u^{2} - \frac{1}{u ^{2}})

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = u, b = u^{2}, c = \frac{1}{u ^{2}}

= u u^{2} - u \frac{1}{u ^{2}}

= u^{2} u - \frac{1}{u ^{2}} u

Semplifica

u^{2} u - \frac{1}{u ^{2}} u : u^{3} - \frac{1}{u}

u^{2} u - \frac{1}{u ^{2}} u

u^{2} u = u^{3}

u^{2} u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= u^{2 + 1}

Aggiungi i numeri:

2 + 1 = 3

= u^{3}

\frac{1}{u ^{2}} u = \frac{1}{u}

\frac{1}{u ^{2}} u

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u ^{2}}

Moltiplicare:

1 \cdot u = u

= \frac{u}{u ^{2}}

Cancella il fattore comune:

u

= \frac{1}{u}

= u^{3} - \frac{1}{u}

= u^{3} - \frac{1}{u}

= u^{3} - \frac{1}{u}

u^{2} - 1 = u^{3} - \frac{1}{u}

Moltiplica entrambi i lati per

u

u^{2} - 1 = u^{3} - \frac{1}{u}

Moltiplica entrambi i lati per

u

u^{2} u - 1 \cdot u = u^{3} u - \frac{1}{u} u

Semplificare

u^{2} u - 1 \cdot u = u^{3} u - \frac{1}{u} u

Semplificare

u^{2} u : u^{3}

u^{2} u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= u^{2 + 1}

Aggiungi i numeri:

2 + 1 = 3

= u^{3}

Semplificare

- 1 \cdot u : - u

- 1 \cdot u

Moltiplicare:

1 \cdot u = u

= - u

Semplificare

u^{3} u : u^{4}

u^{3} u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{3} u = u^{3 + 1}

= u^{3 + 1}

Aggiungi i numeri:

3 + 1 = 4

= u^{4}

Semplificare

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Cancella il fattore comune:

u

= - 1

u^{3} - u = u^{4} - 1

u^{3} - u = u^{4} - 1

u^{3} - u = u^{4} - 1

Risolvi

u^{3} - u = u^{4} - 1 : u = 1, u = - 1

u^{3} - u = u^{4} - 1

Scambia i lati

u^{4} - 1 = u^{3} - u

Spostare

u

a sinistra dell'equazione

u^{4} - 1 = u^{3} - u

Aggiungi

u

ad entrambi i lati

u^{4} - 1 + u = u^{3} - u + u

Semplificare

u^{4} - 1 + u = u^{3}

u^{4} - 1 + u = u^{3}

Spostare

u^{3}

a sinistra dell'equazione

u^{4} - 1 + u = u^{3}

Sottrarre

u^{3}

da entrambi i lati

u^{4} - 1 + u - u^{3} = u^{3} - u^{3}

Semplificare

u^{4} - 1 + u - u^{3} = 0

u^{4} - 1 + u - u^{3} = 0

Scrivi in forma standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} - u^{3} + u - 1 = 0

Fattorizza

u^{4} - u^{3} + u - 1 : (u - 1) (u + 1) (u^{2} - u + 1)

u^{4} - u^{3} + u - 1

= (u^{4} - u^{3}) + (u - 1)

Fattorizza

u^{3}

u^{4} - u^{3} : u^{3} (u - 1)

u^{4} - u^{3}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{4} = u u^{3}

= u u^{3} - u^{3}

Fattorizzare dal termine comune

u^{3}

= u^{3} (u - 1)

= (u - 1) + u^{3} (u - 1)

Fattorizzare dal termine comune

u - 1

= (u - 1) (u^{3} + 1)

Fattorizza

u^{3} + 1 : (u + 1) (u^{2} - u + 1)

u^{3} + 1

Riscrivi

1

come

1^{3}

= u^{3} + 1^{3}

Applicare la formula somma di cubi di:

x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})

u^{3} + 1^{3} = (u + 1) (u^{2} - u + 1)

= (u + 1) (u^{2} - u + 1)

= (u - 1) (u + 1) (u^{2} - u + 1)

(u - 1) (u + 1) (u^{2} - u + 1) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

u - 1 = 0 or u + 1 = 0 or u^{2} - u + 1 = 0

Risolvi

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

Risolvi

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

u = - 1

u = - 1

Risolvi

u^{2} - u + 1 = 0 :

Nessuna soluzione per

u \in R

u^{2} - u + 1 = 0

Discriminante

u^{2} - u + 1 = 0 : - 3

u^{2} - u + 1 = 0

Per un' equazione quadratica nella forma

a x^{2} + b x + c = 0

il discriminante è

b^{2} - 4 a c

Per

a = 1, b = - 1, c = 1 : (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Espandere

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 : - 3

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

4 \cdot 1 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4

= 1 - 4

Sottrai i numeri:

1 - 4 = - 3

= - 3

- 3

Il discriminante non può essere negativo per

u \in R

La soluzione è

Nessuna soluzione per u \in R

Le soluzioni sono

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

u - u^{- 1}

e confrontare con zero

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

(u + u^{- 1}) (u - u^{- 1})

e confrontare con zero

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

Sostituisci

u = e^{x},

risolvi per

x

Risolvi

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

Applica le regole dell'esponente

e^{x} = 1

f (x) = g (x)

, allora

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

Applica la regola del logaritmo:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

Semplificare

ln (1) : 0

ln (1)

Applica la regola del logaritmo:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

Risolvi

e^{x} = - 1 :

Nessuna soluzione per

x \in R

e^{x} = - 1

a^{f(x)} non può essere zero o negativo per x\in\mathbb{R}

Nessuna soluzione per x \in R

x = 0

x = 0

Grafico

Esempi popolari

cos^2(x)=sin(x)+1

cos^{2} (x) = sin (x) + 1

tan(x)= 5/(-4)

tan (x) = \frac{5}{- 4}

cot(α)=4.9

cot (α) = 4.9

0=8tan(θ)

0 = 8 tan (θ)

1=4sin^2(θ)

1 = 4 sin^{2} (θ)