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Popular Trigonometria >

5cos(x)+4-2sin(x)=0

Solução

5 \cdot cos (x) + 4 - 2 \cdot sin (x) = 0

Solução

x = 2.02750 \dots + 2 πn, x = - 2.78851 \dots + 2 πn

Graus

x = 116.16747 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 159.77029 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

5 cos (x) + 4 - 2 sin (x) = 0

Adicionar

2 sin (x)

a ambos os lados

5 cos (x) + 4 = 2 sin (x)

Elevar ambos os lados ao quadrado

(5 cos (x) + 4)^{2} = (2 sin (x))^{2}

Subtrair

(2 sin (x))^{2}

de ambos os lados

(5 cos (x) + 4)^{2} - 4 sin^{2} (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

(4 + 5 cos (x))^{2} - 4 sin^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (4 + 5 cos (x))^{2} - 4 (1 - cos^{2} (x))

Simplificar

(4 + 5 cos (x))^{2} - 4 (1 - cos^{2} (x)) : 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 12

(4 + 5 cos (x))^{2} - 4 (1 - cos^{2} (x))

(4 + 5 cos (x))^{2} : 16 + 40 cos (x) + 25 cos^{2} (x)

Aplique a fórmula do quadrado perfeito:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 4, b = 5 cos (x)

= 4^{2} + 2 \cdot 4 \cdot 5 cos (x) + (5 cos (x))^{2}

Simplificar

4^{2} + 2 \cdot 4 \cdot 5 cos (x) + (5 cos (x))^{2} : 16 + 40 cos (x) + 25 cos^{2} (x)

4^{2} + 2 \cdot 4 \cdot 5 cos (x) + (5 cos (x))^{2}

4^{2} = 16

4^{2}

4^{2} = 16

= 16

2 \cdot 4 \cdot 5 cos (x) = 40 cos (x)

2 \cdot 4 \cdot 5 cos (x)

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 \cdot 5 = 40

= 40 cos (x)

(5 cos (x))^{2} = 25 cos^{2} (x)

(5 cos (x))^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 5^{2} cos^{2} (x)

5^{2} = 25

= 25 cos^{2} (x)

= 16 + 40 cos (x) + 25 cos^{2} (x)

= 16 + 40 cos (x) + 25 cos^{2} (x)

= 16 + 40 cos (x) + 25 cos^{2} (x) - 4 (1 - cos^{2} (x))

Expandir

- 4 (1 - cos^{2} (x)) : - 4 + 4 cos^{2} (x)

- 4 (1 - cos^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 4 \cdot 1 - (- 4) cos^{2} (x)

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a

= - 4 \cdot 1 + 4 cos^{2} (x)

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 = 4

= - 4 + 4 cos^{2} (x)

= 16 + 40 cos (x) + 25 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos^{2} (x)

Simplificar

16 + 40 cos (x) + 25 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos^{2} (x) : 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 12

16 + 40 cos (x) + 25 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos^{2} (x)

Agrupar termos semelhantes

= 40 cos (x) + 25 cos^{2} (x) + 4 cos^{2} (x) + 16 - 4

Somar elementos similares:

25 cos^{2} (x) + 4 cos^{2} (x) = 29 cos^{2} (x)

= 40 cos (x) + 29 cos^{2} (x) + 16 - 4

Somar/subtrair:

16 - 4 = 12

= 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 12

= 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 12

= 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 12

12 + 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) = 0

Usando o método de substituição

12 + 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

12 + 29 u^{2} + 40 u = 0

12 + 29 u^{2} + 40 u = 0 : u = \frac{2 ( 13 - 10 )}{29}, u = - \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

12 + 29 u^{2} + 40 u = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

29 u^{2} + 40 u + 12 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

29 u^{2} + 40 u + 12 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 29, b = 40, c = 12

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 \cdot 29 \cdot 12}{2 \cdot 29}

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 \cdot 29 \cdot 12}{2 \cdot 29}

4 0^{2} - 4 \cdot 29 \cdot 12 = 413

4 0^{2} - 4 \cdot 29 \cdot 12

Multiplicar os números:

4 \cdot 29 \cdot 12 = 1392

= 4 0^{2} - 1392

4 0^{2} = 1600

= 1600 - 1392

Subtrair:

1600 - 1392 = 208

= 208

Decomposição em fatores primos de

208 : 2^{4} \cdot 13

208

208

dividida por

2208 = 104 \cdot 2

= 2 \cdot 104

104

dividida por

2104 = 52 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 52

52

dividida por

252 = 26 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 26

26

dividida por

226 = 13 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

2, 13

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

= 2^{4} \cdot 13

= 2^{4} \cdot 13

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

= 13 2^{4}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 13

Simplificar

= 413

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 13}{2 \cdot 29}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 40 + 4 13}{2 \cdot 29}, u_{2} = \frac{- 40 - 4 13}{2 \cdot 29}

u = \frac{- 40 + 4 13}{2 \cdot 29} : \frac{2 ( 13 - 10 )}{29}

\frac{- 40 + 4 13}{2 \cdot 29}

Multiplicar os números:

2 \cdot 29 = 58

= \frac{- 40 + 4 13}{58}

Fatorar

- 40 + 413 : 4 (- 10 + 13)

- 40 + 413

Reescrever como

= - 4 \cdot 10 + 413

Fatorar o termo comum

4

= 4 (- 10 + 13)

= \frac{4 ( - 10 + 13 )}{58}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{2 ( 13 - 10 )}{29}

u = \frac{- 40 - 4 13}{2 \cdot 29} : - \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

\frac{- 40 - 4 13}{2 \cdot 29}

Multiplicar os números:

2 \cdot 29 = 58

= \frac{- 40 - 4 13}{58}

Fatorar

- 40 - 413 : - 4 (10 + 13)

- 40 - 413

Reescrever como

= - 4 \cdot 10 - 413

Fatorar o termo comum

4

= - 4 (10 + 13)

= - \frac{4 ( 10 + 13 )}{58}

Eliminar o fator comum:

2

= - \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{2 ( 13 - 10 )}{29}, u = - \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = \frac{2 ( 13 - 10 )}{29}, cos (x) = - \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

cos (x) = \frac{2 ( 13 - 10 )}{29}, cos (x) = - \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

cos (x) = \frac{2 ( 13 - 10 )}{29} : x = arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 13 - 10 )}{29}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{2 ( 13 - 10 )}{29}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{2 ( 13 - 10 )}{29}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 ( 10 + 13 )}{29} : x = arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

Soluções gerais para

cos (x) = - \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

5 cos (x) + 4 - 2 sin (x) = 0

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn :

Verdadeiro

arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 π 1

Para

5 cos (x) + 4 - 2 sin (x) = 0

inserir

x = arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 π 1

5 cos (arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 π 1) + 4 - 2 sin (arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 π 1) = 0

Simplificar

0 = 0

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

- arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn :

Falso

- arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn

Inserir

n = 1

- arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 π 1

Para

5 cos (x) + 4 - 2 sin (x) = 0

inserir

x = - arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 π 1

5 cos (- arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 π 1) + 4 - 2 sin (- arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 π 1) = 0

Simplificar

3.59003 \dots = 0

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn :

Falso

arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1

Para

5 cos (x) + 4 - 2 sin (x) = 0

inserir

x = arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1

5 cos (arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1) + 4 - 2 sin (arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1) = 0

Simplificar

- 1.38313 \dots = 0

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

- arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn :

Verdadeiro

- arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

Inserir

n = 1

- arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1

Para

5 cos (x) + 4 - 2 sin (x) = 0

inserir

x = - arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1

5 cos (- arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1) + 4 - 2 sin (- arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1) = 0

Simplificar

0 = 0

\Rightarrow Verdadeiro

x = arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 2.02750 \dots + 2 πn, x = - 2.78851 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

sin(x)=-0.54

sin (x) = - 0.54

tan(2θ)=1.82

tan (2 θ) = 1.82

sin(x)=-0.65

sin (x) = - 0.65

sin(x)=-0.71

sin (x) = - 0.71

sin(x)=-0.98

sin (x) = - 0.98

5*cos(x)+4-2*sin(x)=0

Solução

Solução

Gráfico

Exemplos populares

5cos(x)+4-2sin(x)=0