What is the general solution for solvefor x,z=sin^2(sqrt(x)-2piy) ?

The general solution for solvefor x,z=sin^2(sqrt(x)-2piy) is

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solvefor x,z=sin^2(sqrt(x)-2piy)

Solution

solve for

x, z = sin^{2} (x - 2 π y)

Solution

x = 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z), x = 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (- z) + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z), x = 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z), x = 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (z) + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

Solution steps

z = sin^{2} (x - 2 π y)

Switch sides

sin^{2} (x - 2 π y) = z

Solve by substitution

sin^{2} (x - 2 π y) = z

Let:

sin (x - 2 π y) = u

u^{2} = z

u^{2} = z : u = z, u = - z

u^{2} = z

For

x^{2} = f (a)

the solutions are

x = f (a), - f (a)

u = z, u = - z

Substitute back

u = sin (x - 2 π y)

sin (x - 2 π y) = z, sin (x - 2 π y) = - z

sin (x - 2 π y) = z, sin (x - 2 π y) = - z

sin (x - 2 π y) = z : x = 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z), x = 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (- z) + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

sin (x - 2 π y) = z

Apply trig inverse properties

sin (x - 2 π y) = z

General solutions for

sin (x - 2 π y) = z

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x - 2 π y = arcsin (z) + 2 πn, x - 2 π y = π + arcsin (- z) + 2 πn

x - 2 π y = arcsin (z) + 2 πn, x - 2 π y = π + arcsin (- z) + 2 πn

Solve

x - 2 π y = arcsin (z) + 2 πn : x = 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

x - 2 π y = arcsin (z) + 2 πn

Move

2 π y

to the right side

x - 2 π y = arcsin (z) + 2 πn

Add

2 π y

to both sides

x - 2 π y + 2 π y = arcsin (z) + 2 πn + 2 π y

Simplify

x = arcsin (z) + 2 πn + 2 π y

x = arcsin (z) + 2 πn + 2 π y

Square both sides:

x = 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

x = arcsin (z) + 2 πn + 2 π y

(x)^{2} = (arcsin (z) + 2 πn + 2 π y)^{2}

Expand

(x)^{2} : x

(x)^{2}

Apply radical rule:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (x^{\frac{1}{2}})^{2}

Apply exponent rule:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= x^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiply fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Cancel the common factor:

2

= 1

= x

Expand

(arcsin (z) + 2 πn + 2 π y)^{2} : 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

(arcsin (z) + 2 πn + 2 π y)^{2}

(arcsin (z) + 2 πn + 2 π y)^{2} = (arcsin (z) + 2 πn + 2 π y) (arcsin (z) + 2 πn + 2 π y)

= (2 π y + 2 πn + arcsin (z)) (2 π y + 2 πn + arcsin (z))

Expand

(arcsin (z) + 2 πn + 2 π y) (arcsin (z) + 2 πn + 2 π y) : 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

(arcsin (z) + 2 πn + 2 π y) (arcsin (z) + 2 πn + 2 π y)

Distribute parentheses

= arcsin (z) arcsin (z) + arcsin (z) \cdot 2 πn + arcsin (z) \cdot 2 π y + 2 πn arcsin (z) + 2 πn \cdot 2 πn + 2 πn \cdot 2 π y + 2 π y arcsin (z) + 2 π y \cdot 2 πn + 2 π y \cdot 2 π y

= arcsin (z) arcsin (z) + 2 πn arcsin (z) + 2 π y arcsin (z) + 2 πn arcsin (z) + 2 \cdot 2 ππnn + 2 \cdot 2 ππn y + 2 π y arcsin (z) + 2 \cdot 2 ππn y + 2 \cdot 2 ππ yy

Simplify

arcsin (z) arcsin (z) + 2 πn arcsin (z) + 2 π y arcsin (z) + 2 πn arcsin (z) + 2 \cdot 2 ππnn + 2 \cdot 2 ππn y + 2 π y arcsin (z) + 2 \cdot 2 ππn y + 2 \cdot 2 ππ yy : 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

arcsin (z) arcsin (z) + 2 πn arcsin (z) + 2 π y arcsin (z) + 2 πn arcsin (z) + 2 \cdot 2 ππnn + 2 \cdot 2 ππn y + 2 π y arcsin (z) + 2 \cdot 2 ππn y + 2 \cdot 2 ππ yy

Group like terms

= 2 \cdot 2 ππ yy + 2 \cdot 2 ππn y + 2 \cdot 2 ππn y + 2 π y arcsin (z) + 2 π y arcsin (z) + 2 \cdot 2 ππnn + arcsin (z) arcsin (z) + 2 πn arcsin (z) + 2 πn arcsin (z)

Add similar elements:

2 \cdot 2 ππn y + 2 \cdot 2 ππn y = 4 \cdot 2 ππn y

= 2 \cdot 2 ππ yy + 4 \cdot 2 ππn y + 2 π y arcsin (z) + 2 π y arcsin (z) + 2 \cdot 2 ππnn + arcsin (z) arcsin (z) + 2 πn arcsin (z) + 2 πn arcsin (z)

Add similar elements:

2 π y arcsin (z) + 2 π y arcsin (z) = 4 π y arcsin (z)

= 2 \cdot 2 ππ yy + 4 \cdot 2 ππn y + 4 π y arcsin (z) + 2 \cdot 2 ππnn + arcsin (z) arcsin (z) + 2 πn arcsin (z) + 2 πn arcsin (z)

Add similar elements:

2 πn arcsin (z) + 2 πn arcsin (z) = 4 πn arcsin (z)

= 2 \cdot 2 ππ yy + 4 \cdot 2 ππn y + 4 π y arcsin (z) + 2 \cdot 2 ππnn + arcsin (z) arcsin (z) + 4 πn arcsin (z)

2 \cdot 2 ππ yy = 4 π^{2} y^{2}

2 \cdot 2 ππ yy

Multiply the numbers:

2 \cdot 2 = 4

= 4 ππ yy

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

yy = y^{1 + 1}

= 4 ππ y^{1 + 1}

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 4 ππ y^{2}

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ππ = π^{1 + 1}

= 4 π^{1 + 1} y^{2}

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 4 π^{2} y^{2}

4 \cdot 2 ππn y = 8 π^{2} n y

4 \cdot 2 ππn y

Multiply the numbers:

4 \cdot 2 = 8

= 8 ππn y

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ππ = π^{1 + 1}

= 8 π^{1 + 1} n y

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 8 π^{2} n y

2 \cdot 2 ππnn = 4 π^{2} n^{2}

2 \cdot 2 ππnn

Multiply the numbers:

2 \cdot 2 = 4

= 4 ππnn

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

nn = n^{1 + 1}

= 4 ππ n^{1 + 1}

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 4 ππ n^{2}

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ππ = π^{1 + 1}

= 4 π^{1 + 1} n^{2}

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 4 π^{2} n^{2}

arcsin (z) arcsin (z) = arcsin^{2} (z)

arcsin (z) arcsin (z)

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

arcsin (z) arcsin (z) = arcsin^{1 + 1} (z)

= arcsin^{1 + 1} (z)

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= arcsin^{2} (z)

= 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

= 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

= 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

x = 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

x = 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

Solve

x - 2 π y = π + arcsin (- z) + 2 πn : x = 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (- z) + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

x - 2 π y = π + arcsin (- z) + 2 πn

Move

2 π y

to the right side

x - 2 π y = π + arcsin (- z) + 2 πn

Add

2 π y

to both sides

x - 2 π y + 2 π y = π + arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y

Simplify

x = π + arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y

x = π + arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y

Square both sides:

x = 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (- z) + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

x = π + arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y

(x)^{2} = (π + arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y)^{2}

Expand

(x)^{2} : x

(x)^{2}

Apply radical rule:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (x^{\frac{1}{2}})^{2}

Apply exponent rule:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= x^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiply fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Cancel the common factor:

2

= 1

= x

Expand

(π + arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y)^{2} : 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (- z) + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

(π + arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y)^{2}

(π + arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y)^{2} = (π + arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y) (π + arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y)

= (2 π y + 2 πn + arcsin (- z) + π) (2 π y + 2 πn + arcsin (- z) + π)

Expand

(π + arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y) (π + arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y) : 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (- z) + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

(π + arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y) (π + arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y)

Distribute parentheses

= ππ + π arcsin (- z) + π 2 πn + π 2 π y + arcsin (- z) π + arcsin (- z) arcsin (- z) + arcsin (- z) \cdot 2 πn + arcsin (- z) \cdot 2 π y + 2 πnπ + 2 πn arcsin (- z) + 2 πn \cdot 2 πn + 2 πn \cdot 2 π y + 2 π y π + 2 π y arcsin (- z) + 2 π y \cdot 2 πn + 2 π y \cdot 2 π y

= ππ + π arcsin (- z) + 2 ππn + 2 ππ y + π arcsin (- z) + arcsin (- z) arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z) + 2 π y arcsin (- z) + 2 ππn + 2 πn arcsin (- z) + 2 \cdot 2 ππnn + 2 \cdot 2 ππn y + 2 ππ y + 2 π y arcsin (- z) + 2 \cdot 2 ππn y + 2 \cdot 2 ππ yy

Simplify

ππ + π arcsin (- z) + 2 ππn + 2 ππ y + π arcsin (- z) + arcsin (- z) arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z) + 2 π y arcsin (- z) + 2 ππn + 2 πn arcsin (- z) + 2 \cdot 2 ππnn + 2 \cdot 2 ππn y + 2 ππ y + 2 π y arcsin (- z) + 2 \cdot 2 ππn y + 2 \cdot 2 ππ yy : 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (- z) + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

ππ + π arcsin (- z) + 2 ππn + 2 ππ y + π arcsin (- z) + arcsin (- z) arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z) + 2 π y arcsin (- z) + 2 ππn + 2 πn arcsin (- z) + 2 \cdot 2 ππnn + 2 \cdot 2 ππn y + 2 ππ y + 2 π y arcsin (- z) + 2 \cdot 2 ππn y + 2 \cdot 2 ππ yy

Group like terms

= 2 ππ y + 2 ππ y + 2 \cdot 2 ππ yy + 2 \cdot 2 ππn y + 2 \cdot 2 ππn y + 2 π y arcsin (- z) + 2 π y arcsin (- z) + ππ + 2 ππn + 2 ππn + 2 \cdot 2 ππnn + π arcsin (- z) + π arcsin (- z) + arcsin (- z) arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z)

Add similar elements:

2 \cdot 2 ππn y + 2 \cdot 2 ππn y = 4 \cdot 2 ππn y

= 2 ππ y + 2 ππ y + 2 \cdot 2 ππ yy + 4 \cdot 2 ππn y + 2 π y arcsin (- z) + 2 π y arcsin (- z) + ππ + 2 ππn + 2 ππn + 2 \cdot 2 ππnn + π arcsin (- z) + π arcsin (- z) + arcsin (- z) arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z)

Add similar elements:

2 π y arcsin (- z) + 2 π y arcsin (- z) = 4 π y arcsin (- z)

= 2 ππ y + 2 ππ y + 2 \cdot 2 ππ yy + 4 \cdot 2 ππn y + 4 π y arcsin (- z) + ππ + 2 ππn + 2 ππn + 2 \cdot 2 ππnn + π arcsin (- z) + π arcsin (- z) + arcsin (- z) arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z)

Add similar elements:

2 πn arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z) = 4 πn arcsin (- z)

= 2 ππ y + 2 ππ y + 2 \cdot 2 ππ yy + 4 \cdot 2 ππn y + 4 π y arcsin (- z) + ππ + 2 ππn + 2 ππn + 2 \cdot 2 ππnn + π arcsin (- z) + π arcsin (- z) + arcsin (- z) arcsin (- z) + 4 πn arcsin (- z)

Add similar elements:

π arcsin (- z) + π arcsin (- z) = 2 π arcsin (- z)

= 2 ππ y + 2 ππ y + 2 \cdot 2 ππ yy + 4 \cdot 2 ππn y + 4 π y arcsin (- z) + ππ + 2 ππn + 2 ππn + 2 \cdot 2 ππnn + 2 π arcsin (- z) + arcsin (- z) arcsin (- z) + 4 πn arcsin (- z)

Add similar elements:

2 ππ y + 2 ππ y = 4 ππ y

= 4 ππ y + 2 \cdot 2 ππ yy + 4 \cdot 2 ππn y + 4 π y arcsin (- z) + ππ + 2 ππn + 2 ππn + 2 \cdot 2 ππnn + 2 π arcsin (- z) + arcsin (- z) arcsin (- z) + 4 πn arcsin (- z)

Add similar elements:

2 ππn + 2 ππn = 4 ππn

= 4 ππ y + 2 \cdot 2 ππ yy + 4 \cdot 2 ππn y + 4 π y arcsin (- z) + ππ + 4 ππn + 2 \cdot 2 ππnn + 2 π arcsin (- z) + arcsin (- z) arcsin (- z) + 4 πn arcsin (- z)

4 ππ y = 4 π^{2} y

4 ππ y

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ππ = π^{1 + 1}

= 4 π^{1 + 1} y

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 4 π^{2} y

2 \cdot 2 ππ yy = 4 π^{2} y^{2}

2 \cdot 2 ππ yy

Multiply the numbers:

2 \cdot 2 = 4

= 4 ππ yy

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

yy = y^{1 + 1}

= 4 ππ y^{1 + 1}

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 4 ππ y^{2}

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ππ = π^{1 + 1}

= 4 π^{1 + 1} y^{2}

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 4 π^{2} y^{2}

4 \cdot 2 ππn y = 8 π^{2} n y

4 \cdot 2 ππn y

Multiply the numbers:

4 \cdot 2 = 8

= 8 ππn y

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ππ = π^{1 + 1}

= 8 π^{1 + 1} n y

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 8 π^{2} n y

ππ = π^{2}

ππ

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ππ = π^{1 + 1}

= π^{1 + 1}

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= π^{2}

4 ππn = 4 π^{2} n

4 ππn

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ππ = π^{1 + 1}

= 4 π^{1 + 1} n

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 4 π^{2} n

2 \cdot 2 ππnn = 4 π^{2} n^{2}

2 \cdot 2 ππnn

Multiply the numbers:

2 \cdot 2 = 4

= 4 ππnn

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

nn = n^{1 + 1}

= 4 ππ n^{1 + 1}

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 4 ππ n^{2}

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ππ = π^{1 + 1}

= 4 π^{1 + 1} n^{2}

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 4 π^{2} n^{2}

arcsin (- z) arcsin (- z) = arcsin^{2} (- z)

arcsin (- z) arcsin (- z)

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

arcsin (- z) arcsin (- z) = arcsin^{1 + 1} (- z)

= arcsin^{1 + 1} (- z)

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= arcsin^{2} (- z)

= 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (- z) + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

= 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (- z) + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

= 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (- z) + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

x = 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (- z) + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

x = 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (- z) + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

x = 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z), x = 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (- z) + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

sin (x - 2 π y) = - z : x = 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z), x = 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (z) + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

sin (x - 2 π y) = - z

Apply trig inverse properties

sin (x - 2 π y) = - z

General solutions for

sin (x - 2 π y) = - z

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x - 2 π y = arcsin (- z) + 2 πn, x - 2 π y = π + arcsin (z) + 2 πn

x - 2 π y = arcsin (- z) + 2 πn, x - 2 π y = π + arcsin (z) + 2 πn

Solve

x - 2 π y = arcsin (- z) + 2 πn : x = 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

x - 2 π y = arcsin (- z) + 2 πn

Move

2 π y

to the right side

x - 2 π y = arcsin (- z) + 2 πn

Add

2 π y

to both sides

x - 2 π y + 2 π y = arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y

Simplify

x = arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y

x = arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y

Square both sides:

x = 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

x = arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y

(x)^{2} = (arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y)^{2}

Expand

(x)^{2} : x

(x)^{2}

Apply radical rule:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (x^{\frac{1}{2}})^{2}

Apply exponent rule:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= x^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiply fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Cancel the common factor:

2

= 1

= x

Expand

(arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y)^{2} : 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

(arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y)^{2}

(arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y)^{2} = (arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y) (arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y)

= (2 π y + 2 πn + arcsin (- z)) (2 π y + 2 πn + arcsin (- z))

Expand

(arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y) (arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y) : 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

(arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y) (arcsin (- z) + 2 πn + 2 π y)

Distribute parentheses

= arcsin (- z) arcsin (- z) + arcsin (- z) \cdot 2 πn + arcsin (- z) \cdot 2 π y + 2 πn arcsin (- z) + 2 πn \cdot 2 πn + 2 πn \cdot 2 π y + 2 π y arcsin (- z) + 2 π y \cdot 2 πn + 2 π y \cdot 2 π y

= arcsin (- z) arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z) + 2 π y arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z) + 2 \cdot 2 ππnn + 2 \cdot 2 ππn y + 2 π y arcsin (- z) + 2 \cdot 2 ππn y + 2 \cdot 2 ππ yy

Simplify

arcsin (- z) arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z) + 2 π y arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z) + 2 \cdot 2 ππnn + 2 \cdot 2 ππn y + 2 π y arcsin (- z) + 2 \cdot 2 ππn y + 2 \cdot 2 ππ yy : 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

arcsin (- z) arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z) + 2 π y arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z) + 2 \cdot 2 ππnn + 2 \cdot 2 ππn y + 2 π y arcsin (- z) + 2 \cdot 2 ππn y + 2 \cdot 2 ππ yy

Group like terms

= 2 \cdot 2 ππ yy + 2 \cdot 2 ππn y + 2 \cdot 2 ππn y + 2 π y arcsin (- z) + 2 π y arcsin (- z) + 2 \cdot 2 ππnn + arcsin (- z) arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z)

Add similar elements:

2 \cdot 2 ππn y + 2 \cdot 2 ππn y = 4 \cdot 2 ππn y

= 2 \cdot 2 ππ yy + 4 \cdot 2 ππn y + 2 π y arcsin (- z) + 2 π y arcsin (- z) + 2 \cdot 2 ππnn + arcsin (- z) arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z)

Add similar elements:

2 π y arcsin (- z) + 2 π y arcsin (- z) = 4 π y arcsin (- z)

= 2 \cdot 2 ππ yy + 4 \cdot 2 ππn y + 4 π y arcsin (- z) + 2 \cdot 2 ππnn + arcsin (- z) arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z)

Add similar elements:

2 πn arcsin (- z) + 2 πn arcsin (- z) = 4 πn arcsin (- z)

= 2 \cdot 2 ππ yy + 4 \cdot 2 ππn y + 4 π y arcsin (- z) + 2 \cdot 2 ππnn + arcsin (- z) arcsin (- z) + 4 πn arcsin (- z)

2 \cdot 2 ππ yy = 4 π^{2} y^{2}

2 \cdot 2 ππ yy

Multiply the numbers:

2 \cdot 2 = 4

= 4 ππ yy

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

yy = y^{1 + 1}

= 4 ππ y^{1 + 1}

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 4 ππ y^{2}

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ππ = π^{1 + 1}

= 4 π^{1 + 1} y^{2}

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 4 π^{2} y^{2}

4 \cdot 2 ππn y = 8 π^{2} n y

4 \cdot 2 ππn y

Multiply the numbers:

4 \cdot 2 = 8

= 8 ππn y

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ππ = π^{1 + 1}

= 8 π^{1 + 1} n y

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 8 π^{2} n y

2 \cdot 2 ππnn = 4 π^{2} n^{2}

2 \cdot 2 ππnn

Multiply the numbers:

2 \cdot 2 = 4

= 4 ππnn

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

nn = n^{1 + 1}

= 4 ππ n^{1 + 1}

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 4 ππ n^{2}

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ππ = π^{1 + 1}

= 4 π^{1 + 1} n^{2}

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 4 π^{2} n^{2}

arcsin (- z) arcsin (- z) = arcsin^{2} (- z)

arcsin (- z) arcsin (- z)

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

arcsin (- z) arcsin (- z) = arcsin^{1 + 1} (- z)

= arcsin^{1 + 1} (- z)

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= arcsin^{2} (- z)

= 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

= 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

= 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

x = 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

x = 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z)

Solve

x - 2 π y = π + arcsin (z) + 2 πn : x = 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (z) + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

x - 2 π y = π + arcsin (z) + 2 πn

Move

2 π y

to the right side

x - 2 π y = π + arcsin (z) + 2 πn

Add

2 π y

to both sides

x - 2 π y + 2 π y = π + arcsin (z) + 2 πn + 2 π y

Simplify

x = π + arcsin (z) + 2 πn + 2 π y

x = π + arcsin (z) + 2 πn + 2 π y

Square both sides:

x = 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (z) + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

x = π + arcsin (z) + 2 πn + 2 π y

(x)^{2} = (π + arcsin (z) + 2 πn + 2 π y)^{2}

Expand

(x)^{2} : x

(x)^{2}

Apply radical rule:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (x^{\frac{1}{2}})^{2}

Apply exponent rule:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= x^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiply fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Cancel the common factor:

2

= 1

= x

Expand

(π + arcsin (z) + 2 πn + 2 π y)^{2} : 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (z) + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

(π + arcsin (z) + 2 πn + 2 π y)^{2}

(π + arcsin (z) + 2 πn + 2 π y)^{2} = (π + arcsin (z) + 2 πn + 2 π y) (π + arcsin (z) + 2 πn + 2 π y)

= (2 π y + 2 πn + arcsin (z) + π) (2 π y + 2 πn + arcsin (z) + π)

Expand

(π + arcsin (z) + 2 πn + 2 π y) (π + arcsin (z) + 2 πn + 2 π y) : 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (z) + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

(π + arcsin (z) + 2 πn + 2 π y) (π + arcsin (z) + 2 πn + 2 π y)

Distribute parentheses

= ππ + π arcsin (z) + π 2 πn + π 2 π y + arcsin (z) π + arcsin (z) arcsin (z) + arcsin (z) \cdot 2 πn + arcsin (z) \cdot 2 π y + 2 πnπ + 2 πn arcsin (z) + 2 πn \cdot 2 πn + 2 πn \cdot 2 π y + 2 π y π + 2 π y arcsin (z) + 2 π y \cdot 2 πn + 2 π y \cdot 2 π y

= ππ + π arcsin (z) + 2 ππn + 2 ππ y + π arcsin (z) + arcsin (z) arcsin (z) + 2 πn arcsin (z) + 2 π y arcsin (z) + 2 ππn + 2 πn arcsin (z) + 2 \cdot 2 ππnn + 2 \cdot 2 ππn y + 2 ππ y + 2 π y arcsin (z) + 2 \cdot 2 ππn y + 2 \cdot 2 ππ yy

Simplify

ππ + π arcsin (z) + 2 ππn + 2 ππ y + π arcsin (z) + arcsin (z) arcsin (z) + 2 πn arcsin (z) + 2 π y arcsin (z) + 2 ππn + 2 πn arcsin (z) + 2 \cdot 2 ππnn + 2 \cdot 2 ππn y + 2 ππ y + 2 π y arcsin (z) + 2 \cdot 2 ππn y + 2 \cdot 2 ππ yy : 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (z) + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

ππ + π arcsin (z) + 2 ππn + 2 ππ y + π arcsin (z) + arcsin (z) arcsin (z) + 2 πn arcsin (z) + 2 π y arcsin (z) + 2 ππn + 2 πn arcsin (z) + 2 \cdot 2 ππnn + 2 \cdot 2 ππn y + 2 ππ y + 2 π y arcsin (z) + 2 \cdot 2 ππn y + 2 \cdot 2 ππ yy

Group like terms

= 2 ππ y + 2 ππ y + 2 \cdot 2 ππ yy + 2 \cdot 2 ππn y + 2 \cdot 2 ππn y + 2 π y arcsin (z) + 2 π y arcsin (z) + ππ + 2 ππn + 2 ππn + 2 \cdot 2 ππnn + π arcsin (z) + π arcsin (z) + arcsin (z) arcsin (z) + 2 πn arcsin (z) + 2 πn arcsin (z)

Add similar elements:

2 \cdot 2 ππn y + 2 \cdot 2 ππn y = 4 \cdot 2 ππn y

= 2 ππ y + 2 ππ y + 2 \cdot 2 ππ yy + 4 \cdot 2 ππn y + 2 π y arcsin (z) + 2 π y arcsin (z) + ππ + 2 ππn + 2 ππn + 2 \cdot 2 ππnn + π arcsin (z) + π arcsin (z) + arcsin (z) arcsin (z) + 2 πn arcsin (z) + 2 πn arcsin (z)

Add similar elements:

2 π y arcsin (z) + 2 π y arcsin (z) = 4 π y arcsin (z)

= 2 ππ y + 2 ππ y + 2 \cdot 2 ππ yy + 4 \cdot 2 ππn y + 4 π y arcsin (z) + ππ + 2 ππn + 2 ππn + 2 \cdot 2 ππnn + π arcsin (z) + π arcsin (z) + arcsin (z) arcsin (z) + 2 πn arcsin (z) + 2 πn arcsin (z)

Add similar elements:

2 πn arcsin (z) + 2 πn arcsin (z) = 4 πn arcsin (z)

= 2 ππ y + 2 ππ y + 2 \cdot 2 ππ yy + 4 \cdot 2 ππn y + 4 π y arcsin (z) + ππ + 2 ππn + 2 ππn + 2 \cdot 2 ππnn + π arcsin (z) + π arcsin (z) + arcsin (z) arcsin (z) + 4 πn arcsin (z)

Add similar elements:

π arcsin (z) + π arcsin (z) = 2 π arcsin (z)

= 2 ππ y + 2 ππ y + 2 \cdot 2 ππ yy + 4 \cdot 2 ππn y + 4 π y arcsin (z) + ππ + 2 ππn + 2 ππn + 2 \cdot 2 ππnn + 2 π arcsin (z) + arcsin (z) arcsin (z) + 4 πn arcsin (z)

Add similar elements:

2 ππ y + 2 ππ y = 4 ππ y

= 4 ππ y + 2 \cdot 2 ππ yy + 4 \cdot 2 ππn y + 4 π y arcsin (z) + ππ + 2 ππn + 2 ππn + 2 \cdot 2 ππnn + 2 π arcsin (z) + arcsin (z) arcsin (z) + 4 πn arcsin (z)

Add similar elements:

2 ππn + 2 ππn = 4 ππn

= 4 ππ y + 2 \cdot 2 ππ yy + 4 \cdot 2 ππn y + 4 π y arcsin (z) + ππ + 4 ππn + 2 \cdot 2 ππnn + 2 π arcsin (z) + arcsin (z) arcsin (z) + 4 πn arcsin (z)

4 ππ y = 4 π^{2} y

4 ππ y

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ππ = π^{1 + 1}

= 4 π^{1 + 1} y

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 4 π^{2} y

2 \cdot 2 ππ yy = 4 π^{2} y^{2}

2 \cdot 2 ππ yy

Multiply the numbers:

2 \cdot 2 = 4

= 4 ππ yy

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

yy = y^{1 + 1}

= 4 ππ y^{1 + 1}

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 4 ππ y^{2}

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ππ = π^{1 + 1}

= 4 π^{1 + 1} y^{2}

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 4 π^{2} y^{2}

4 \cdot 2 ππn y = 8 π^{2} n y

4 \cdot 2 ππn y

Multiply the numbers:

4 \cdot 2 = 8

= 8 ππn y

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ππ = π^{1 + 1}

= 8 π^{1 + 1} n y

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 8 π^{2} n y

ππ = π^{2}

ππ

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ππ = π^{1 + 1}

= π^{1 + 1}

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= π^{2}

4 ππn = 4 π^{2} n

4 ππn

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ππ = π^{1 + 1}

= 4 π^{1 + 1} n

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 4 π^{2} n

2 \cdot 2 ππnn = 4 π^{2} n^{2}

2 \cdot 2 ππnn

Multiply the numbers:

2 \cdot 2 = 4

= 4 ππnn

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

nn = n^{1 + 1}

= 4 ππ n^{1 + 1}

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 4 ππ n^{2}

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ππ = π^{1 + 1}

= 4 π^{1 + 1} n^{2}

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= 4 π^{2} n^{2}

arcsin (z) arcsin (z) = arcsin^{2} (z)

arcsin (z) arcsin (z)

Apply exponent rule:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

arcsin (z) arcsin (z) = arcsin^{1 + 1} (z)

= arcsin^{1 + 1} (z)

Add the numbers:

1 + 1 = 2

= arcsin^{2} (z)

= 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (z) + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

= 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (z) + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

= 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (z) + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

x = 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (z) + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

x = 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (z) + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

x = 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z), x = 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (z) + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

Combine all the solutions

x = 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z), x = 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (- z) + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z), x = 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (- z) + 4 π^{2} n^{2} + arcsin^{2} (- z) + 4 πn arcsin (- z), x = 4 π^{2} y + 4 π^{2} y^{2} + 8 π^{2} n y + 4 π y arcsin (z) + π^{2} + 4 π^{2} n + 4 π^{2} n^{2} + 2 π arcsin (z) + arcsin^{2} (z) + 4 πn arcsin (z)

Popular Examples

sin(θ)= 3/(3sqrt(5))

sin (θ) = \frac{3}{3 5}

6cos(θ)sin(θ)+cos(θ)=0

6 cos (θ) sin (θ) + cos (θ) = 0

cos(x)+cos(5x)=0

cos (x) + cos (5 x) = 0

7cos(t)+5sin(t)=0

7 cos (t) + 5 sin (t) = 0

cos(X)=0.4848

cos (X) = 0.4848

Frequently Asked Questions (FAQ)

What is the general solution for solvefor x,z=sin^2(sqrt(x)-2piy) ?
The general solution for solvefor x,z=sin^2(sqrt(x)-2piy) is